Dr. Madaras Lászlóné: Wittgenstein teoretikus matematikamodellje az oktatásunkba

A magyar felsőoktatásban matematikaoktatóként eltöltött több évtizedes gyakorlati tapasztalatom alapján a hallgatók egy jó részének nehéznek bizonyul a felsőbb matematika. Néhány főiskola, egyetem arra kényszerül, hogy marginalizálja a matematikaoktatást, félve attól, hogy enélkül jelentősebb számú leendő hallgatót veszít el. Így a matematikai jellegű tantárgyak − melyek elvontságukkal, elsajátíthatóságukkal kiemelkednek a többi tudományterület közül − oktatáspolitikánk, tanterveink, vizsgaszabályzataink állandó vitás szereplőivé váltak.

A megértésükkel „küszködő” hallgatók véleménye közel áll Bertrand Russell matematika-definíciójához, miszerint: „A matematikát úgy határozhatjuk meg, mint azt a tárgyat, amelyben sem azt nem tudjuk, miről beszélünk, sem pedig azt, hogy igaz-e, amit mondunk.”[i] A tárgyat többször felvevők álláspontja közelít Lichtenberg azon aforizmájához, miszerint: „a matematika valóban nagyszerű tudomány, de a matematikusok néha még hóhérnak sem valók…”[ii] Sorolhatnánk még sokáig a negatív tanulási vagy oktatási tapasztalatot átélő hallgatóknak szimpatikus matematika-definícióikat.

A Wikipedia szerint: „a matematika, tárgyát és módszereit tekintve, sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika »belső« fejlődéséből adódóan létrejött (felfedezett ill. feltalált) rendszereket, struktúrákat, azok absztrakt, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja.”

Sokan, sokféleképpen elemezték már azt is, hogy miért nehéz a felsőbb matematika nem csak a hallgatóknak, hanem esetenként még a kutatóknak is. Az egyik álláspont szerint a matematikához érzék, velünk született adottság, intuíció szükséges, ami nem mindenkinek sajátja. Mások szerint: „…a matematika megértésének legfőbb akadálya a madárnyelv, melyet művelői beszélnek, a tudósoknak meg kéne tanulniuk: problémákról e nyelv nélkül szólni a beavatatlanoknak. Ez azonban képtelenség, (…). Vegytanról vegytani egyenletek nélkül nem lehet beszélni. A mi természetismeretünknek, s matematikánknak egyik fő célja épp e nyelvek megtaníttatása, azé a minimumé, amellyel az ismeret lényegéhez hozzá lehet férni.”[iii] Többen azt is vallják, hogy: „Némileg hasonlít a matematikai rendszerhez a sakk. Ez is, az is zárt rendszert képez, megvannak a saját kiindulási elvei és szabályai. (…) A sakknak azonban nincs semmiféle alkalmazott jelentősége, míg a matematikának van.”[iv]

Dolgozatunkban a késői Wittgenstein matematika-felfogását vizsgáljuk, aki matematikát tanító filozófusként egy sajátos, vitatható, de megítélésünk szerint gyakorló pedagógusoknak mégis igen tanulságos megközelítésben mutatja be tudományunk általa alkotott olyan teoretikus modelljét, amelyben találkozhatunk a fenti elképzelések elemeivel is.

A tudomány nyelvjátéka

A késői Wittgenstein szerint a tudományos elméletek a mindennapi nyelvre épülő nyelvjátékok, melyeknél a mindennapi nyelvnek minden elmélettel van közös része. A különböző elméletek között a kapcsolatot a gondolkodás teremti meg. A gondolkodás nála úgy jelenik meg, mint ami a ’gondolkodó beszédet’ megkülönbözteti a gondolat nélküli beszédtől. Cselekvő módon is gondolkodhatunk, anélkül, hogy beszélnénk, ilyenkor azonban „a ’belső folyamatnak’ külső kritériumokra van szüksége.”[v] Wittgenstein szerint a fogalmak, kijelentések jelentései a valóságos emberi körülmények között képződnek, de a gondolkodás alapvetően a kommunikációtól, cselekvéstől független folyamat.

Tudományos kijelentéseink, állításaink alapja maga a nyelvjáték, melyhez az ’anyagot’ a tudósok a természetből veszik. A tudományos elmélet felépítése, szerkesztése a társadalmi konvenciók által irányítottan történik. A tudományos érvelés éppúgy szabályoknak engedelmeskedik, mint bármely más nyelvjáték, amelyeket a kutatók a gyakorlatban sajátíthatnak el. A tudományos érvelés szabályainak elsajátításához példák megmutatására van szükség. „Szabályaink rejtekajtókat hagynak nyitva, és a gyakorlatnak önmagáért kell beszélnie.”[vi] Tudományos érvelésünk mögött mindig kimutatható világképünk, világfelfogásunk jelenléte.

Igaznak tekinthetjük-e a tudomány kijelentéseit?

Wittgenstein szerint a tudományban egyrészt vannak olyan állítások, amelyeknek az igazságához nem férhet kétség, amelyeket alapvetően igaznak fogadunk el. „Bizonyos tapasztalati állítások igazsága hozzátartozik vonatkoztatási rendszerünkhöz.”[vii]

Másrészt viszont, ha az igazság számunkra általában a külvilággal való közvetlen megegyezés fennállását jelenti, akkor ennek megválaszolása nyelvünk határait jelenti, ti. éppen azt nem tudjuk megmondani, hogy mi is itt a ’megegyezés’. „Hogyha minden egy hipotézis mellett szól, semmi sem ellene – akkor biztosan igaz? Lehet igaznak nevezni. – De biztosan megegyezik a valósággal, a tényekkel? – Ezzel a kérdéssel már körben forogsz.”[viii] Beszélhetünk-e így egyáltalán objektív igazságról? Ha minden addigi kijelentésünk egy állítás mellett szól, akkor tudunk ugyan dönteni az igazságát illetően, de bizonyossággal akkor is csak annyit mondhatunk, hogy a kijelentés „megmutatja nekünk, mit jelent ’megegyezni’ (…) miben áll ez a megegyezés(¼).”[ix]

A kijelentések igazságáról nem annyira a kísérletek, sokkal inkább maga az elmélet mint nyelvjáték alapján győződhetünk meg. A tudományban sohasem „az egyes axiómák világosodnak meg számomra, hanem egy rendszer, amelyben a következmények, és premisszák kölcsönösen támogatják egymást.”[x] A kutatónak mindig az adott nyelvjátékban kell tudnia érvelni állításának igazsága mellett, és mindazok a módszerek, amelyeket a bizonyításnál felhasznál, szintén az adott a nyelvjáték keretei között elfogadottak. Ilyen értelemben az igazság a gyakorlati, a más kutatók által is alátámasztott közös elfogadhatóságot jelenti.

Mondhatjuk-e akkor egy állításról egyáltalán azt, hogy bizonyos? Wittgenstein megkülönbözteti a szubjektív és az objektív bizonyosságot. A szubjektív bizonyosság, amikor: „A ’bizonyos’ szóval a teljes meggyőződést, minden kétely hiányát fejezzük ki, és megkíséreljük a többieket meggyőzni vele.”[xi] Az objektív bizonyosság pedig azt jelenti, hogy a tévedés kizárt. A kijelentések igazolása mindig azzal a kontextussal összevetve történhet csak, amelyben a nyelvet használják. „Az, amihez ragaszkodom, az nem egy állítás, hanem állítások szövedéke.”[xii] Wittgenstein hitt abban, hogy az igazolásnak valahol vége kell, hogy szakadjon, és az igazolás végpontjaként jelentkező evidencia végső soron az adott nyelvjáték tapasztalatain nyugszik. A tapasztalataink alapján bízhatunk az állításokban, de ez „nem egyszerűen az én tapasztalatom, hanem a többieké is, akiktől ismeretet nyerek.”[xiii]

A tudományos törvényeket a gyakorlatban sohasem tudjuk igazolni teljes mértékben. Ezért úgy kezeljük őket, mint gondolkodási szokásokat, amelyekről szigorú értelemben nem bizonyítjuk, hogy ezek a helyes gondolkodás szokásai, csak megmutatjuk, hogy a gyakorlatban nagyon is hatékonyak, azaz maga a gyakorlat igazolja a szabályok helyességét. Az empirikus tudomány által felhalmozott, tankönyvekben leírt ismeretekben, olyan alapvető tudományos kijelentésekben, mint például az erő arányos a gyorsulással, vagy a Föld megközelítően gömb alakú, nincs okunk kételkedni, ezekben hinnünk kell. „A tudásnak ez a corpusa hagyományozódott rám, és arra, hogy kételkedjem benne, nincs alapom, van viszont sokféle igazolásom.”[xiv]

A tudomány fejlődését, változását Wittgenstein a nyelv és a város növekedésének analógiájára képzeli el. Úgy tekinthetjük, mint „egy régi várost: mint zegzugos térséget utcácskákkal és terekkel, régi és új házakkal, meg olyan házakkal, amelyekhez különböző korokban építettek hozzá; (…)”[xv] A változást a szükségletek, a körülmények, a stílusváltozások motiválják, és a növekedés egyben történelmi esemény is. Wittgenstein a változások folyamán időközönként megjelenő aspektusváltozásokról, szemléletváltozásról is beszél, amelyek folyamán „változnak a fogalmak, és a fogalmakkal a szavak jelentései is.”[xvi]

Wittgenstein szerint a racionális tudás nem fogja át minden ismeretünket. A tudomány csak egyféle kultúra a több, más kultúra között.

A matematika mint speciális tudományos nyelvjáték

A matematikai tudást úgy tekinthetjük, mint egy társadalmi, pszichológiai és empirikus alapokra felépülő rendszert. Alakulásában a természetes ösztönök, a konvenció és az oktatás játszik szerepet.[xvii] A matematika „ahhoz a vázhoz tartozik, amelyből kiindulva nyelvünk működik (például leírást ad).”[xviii] Nem szükséges ezért a megalapozásával külön foglalkoznunk, feladatunk csupán a szabályok megfigyelése, felfedezése. Wittgenstein megmutatja, hogy amit matematikai felfedezésnek nevezünk, azt jobb lenne matematikai feltalálásnak mondani.[xix]

A matematikát nem felfedezzük, hanem konstruáljuk. Ezeket a konstrukciókat, szabályokat a gyakorlatban tudjuk megfigyelni és elsajátítani is: „A számolás lényegét a számolni tanulás közben tanultuk meg.”[xx] A diákoknak többnyire definíciókra, tételekre alapozva tanítjuk meg a matematikát, de igazából bármelyikük úgy is megtanulhatja, ha megfigyeli, hogy mások hogyan játsszák ezt a játékot. Elsajátítani, elmélyíteni az ismereteket példák bemutatásával és gyakoroltatásával lehet. Persze előfordulhat, hogy valaki már egyetlen példából is megérti valamely összefüggés lényegét. A matematikában „’rossz lépések’ csak kivételképpen fordulhatnak elő. Mert ha az lenne a szabály, amit most rossz lépésnek nevezünk, akkor ezzel megszűnnék a játék, amelyben ezek a rossz lépések.”[xxi]

A matematikai ismeretrendszer bizonyos értelemben változó, más vonatkozásban állandó is egyben.

Változó, hiszen szűkülhet és bővülhet is, hasonlóan más nyelvjátékokhoz. „Mert a matematikai tételt cselekedetek sorából kaptuk, amelyek semmilyen módon nem különböznek életünk egyéb cselekedeteitől, és ugyanolyan mértékben ki vannak téve a felejtésnek, elnézésnek, csalódásnak.”[xxii] Az általunk feltalált újabb szabályok továbbépítik a rendszert. Az új szabályok új összefüggéseket, ábrázolási formákat teremtenek, amelyek aspektusváltáshoz, más felfogásmódhoz vezethetnek. Az aspektusváltás a matematikusok között vitákat vált ki, de egy idő után a bizonytalanságok mindig elrendeződnek. Ha az aspektusváltás kapcsán egy matematikai kijelentés alapja gyarapszik, változik, akkor megváltozhat a jelentése is. Így ugyanannak a kijelentésnek két különböző alapú jelentése is lehet, mert minden alap speciális jelentéssel ruházza fel a kijelentést. Tehát a matematika jellemzője a sokféleség.

Ugyanakkor a matematika állításai különböznek az empirikus állításoktól, mert használati módjukat tekintve időtlenek, nem véletlenszerűek. „Azt lehetne mondani, hogy a matematika tételei kövületek.”[xxiii] A matematika igazságai Wittgenstein szerint nem egyszerű egyetértésen alapulnak, minthogy mindannyian bizonyosak vagyunk bennük. Valahogy úgy vagyunk ezzel, hogy lefektettük a szabályokat, és eltettük őket az archívumba. Arról a világról elképzelésünk sem lehet, ahol 2×2=5, arról pedig végképp nem, ahol 2×2 néha 5, néha pedig ennél több vagy kevesebb.[xxiv] De ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy az elfogadás alapja és oka kizárólag a priori jellegű lenne, és hogy a felfedezés nem kötődhet az empíriához. A matematika kijelentései utalhatnak egy speciális matematikai realitásra. A realitás az, hogy a matematikai technika – és ez Wittgenstein szerint egy etnológiai tény – valami olyasmi, amit úgy csinálunk, ahogyan élünk. „Amit el kell fogadnunk, ami adott – ezek, így mondhatnánk, életformák.”[xxv]

Összességében láthatjuk, hogy Wittgenstein a matematikának olyan ún. társadalmi modelljét képviselte, amely a természet társadalmi használatára alapoz. A matematika kijelentései naturalisztikus keretbe ágyazva, az anyagi, biológiai és kulturális környezetbe lehorgonyozva, erre felépítve logikailag összefüggő rendszert alkotnak. Ez a rendszer azonban nem egy logikailag tökéletesen felépített, lezárt elmélet, tudásunk ’nyitott ablak’ a világra.

Amellett, hogy a matematika nyelvjátéka minden korban bővíthető marad, mindenkor teljesnek is mondható egyben, hiszen nincs belülről kijelölve olyan ideális kutatásvégi állapot, amihez közelítenünk kellene.

Különbözik a többi nyelvjátéktól, mert benne műveleteket végezve a saját nyelvjátékának, belső normáinak kell megfelelni, mint ahogyan pl. sakkozás közben a sakk játékszabályait kell követnünk.

Ugyanakkor nem mondhatjuk, hogy alapvető mértékben tér el más emberi aktivitásoktól. Alapját a különböző kalkulusok közös gyakorlata adja, és csak addig és annyiban lehet értelmes, amíg a gyakorlathoz kapcsolódik. A matematikai ismereteket megbízható ismereteknek tekinthetjük, ha a társadalmi gyakorlat által is ellenőrzöttek és megerősítettek. Megbízhatóságuk csak konvención és a konvenció iránti elkötelezettségünkön alapul. Éppen a gyakorlati alkalmazás adja meg az elszigetelt elméleti tudásrészek közötti átjárás lehetőségét. Ezzel az elképzelésével Wittgenstein felveti egy újfajta tudásegység lehetőségét.

A Wittgenstein által elképzelt teoretikus modell választ ad arra a kérdésre is, hogy miért is nehéz hallgatóinknak a matematika? Az ő modellje szerint a matematikát tudni azt jelenti: az adott összefüggésrendszert uralni. Ez pedig csak akkor sikerülhet, ha az éppen elsajátítandó egész rendszert, a rendszer minden egyes részét már belülről ismerjük, mintegy „belülre költözve” látjuk.

 

Felhasznált irodalom

Diamond, 1976:     Diamond, Cora (ed.): Wittgenstein’s Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge, 1939, The Harvester Press LTD, Hassocks, Sussex, 1976.

Lichtenberg, 1941: Lichtenberg, Georg Christoph: Tag und Dämmerung, Dietrich, Leipzig 1941.

Németh, 1997:       Németh László: Levél Marx Györgyhöz. Ponticulus Hungaricus, I. évfolyam, 1. szám; 1997. december

Russell, 1976:        Russell, Bertrand: Miszticizmus és Logika. Magyar Helikon Kiadó, Budapest 1976.

Lem, 1972:            Stanislav, Lem: Summa technologiae. Kossuth Kiadó, Budapest 1972.

Wittgenstein, 1967:       Wittgenstein, Ludwig: Remarks on the Foundations of Mathematics, eds.: G. H. von Wright, R. Rhees and G. E. M. Anscombe, trans.: G. E. M. Anscombe, The M. I. T. Press, Massachusetts Institute of Technology, 1967.

Wittgenstein, 1989:       Wittgenstein, Ludwig: A bizonyosságról, (On Certainty by Ludwig Wittgenstein, ed. By D. E. Anscombe and G. H. von Wright, Basil Blackwell, Oxford, 1969), Európa Könyvkiadó, Budapest 1989.

Wittgenstein, 1992:       Wittgenstein, Ludwig: Filozófiai vizsgálódások. Atlantisz Kiadó (Medvetánc), Bud



[i] Russell, 1976: A matematika és a metafizikusok (?), In: Miszticizmus és Logika, Budapest, Magyar Helikon Kiadó, 1976, pp. 119–156. Fordította: Márkus György.

[ii] Lichtenberg, 1941.

[iii] Németh, 1997.

[iv] Lem, 1972.

[v] Wittgenstein, Ludwig: Filozófiai vizsgálódások, Atlantisz Kiadó (Medvetánc), Budapest 1992. 580. §. Fordította: Neumer Katalin.

[vi] Wittgenstein, Ludwig: A bizonyosságról (On Certainty by Ludwig Wittgenstein, ed. By D. E. Anscombe and G. H. von Wright, Basil Blackwell, Oxford, 1969), Európa Könyvkiadó, Budapest, 1989. 139. §. Fordította: Neumer Katalin.

[vii] Wittgenstein, 1989. 83. §.

[viii] Wittgenstein, 1989. 191. §.

[ix] Wittgenstein, 1989. 203. §.

[x] Wittgenstein, 1989. 142. §.

[xi] Wittgenstein, 1989. 194. §.

[xii] Wittgenstein, 1989. 225. §.

[xiii] Wittgenstein, 1989. 275. §.

[xiv] Wittgenstein, 1989. 288. §.

[xv] Wittgenstein, 1992. 18. §.

[xvi] Wittgenstein, 1989. 65. §.

[xvii] A logika és a matematika közötti kapcsolatot azzal a hasonlattal írja le, mint ahogyan egy festett szirt alátámaszt egy festett várat. A matematikának sincs több szüksége a megalapozásra, mint a fizikai világról tett egyéb kijelentéseinknek, hiszen a matematika is egyfajta tapasztalat. Vö: Wittgenstein, 1967. V. 13.

[xviii] Wittgenstein, 1992. 240. §.

[xix] Diamond, 1976. p. 22.

[xx] Wittgenstein, 1989. 45. §.

[xxi] Wittgenstein, 1992. II. rész, p. 326.

[xxii] Wittgenstein, 1989. 651. §.

[xxiii] Wittgenstein, 1989. 657. §.

[xxiv] Vö.: Wittgenstein, 1992. II. rész, XI. pp. 323–324.

[xxv] Wittgenstein, 1992. II. rész, p. 325.


Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük

Ez az oldal az Akismet szolgáltatást használja a spam csökkentésére. Ismerje meg a hozzászólás adatainak feldolgozását .