{"id":11939,"date":"2025-05-01T13:43:45","date_gmt":"2025-05-01T11:43:45","guid":{"rendered":"https:\/\/katedra.sk\/folyoirat\/?p=11939"},"modified":"2025-12-03T09:20:40","modified_gmt":"2025-12-03T08:20:40","slug":"xxxii_09-10_15","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/katedra.sk\/folyoirat\/xxxii_09-10_15\/","title":{"rendered":"Juh\u00e1sz Val\u00e9ria: A matematikai sz\u00f6veges feladatok \u00e9s a sz\u00f6veg\u00e9rt\u00e9s \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9se, illetve azok alkalmaz\u00e1sa \u00f3vod\u00e1skorban"},"content":{"rendered":"

2025. m\u00e1jus-j\u00fanius, XXXII. \u00e9vfolyam, 9\u201310. sz\u00e1m, ISSN 2729-9066<\/strong><\/p>\n

A\u00a0cikk let\u00f6lt\u00e9se PDF form\u00e1tumban<\/a><\/p>\n

\u00a0<\/span>
\nJuh\u00e1sz Val\u00e9ria<\/span><\/p>\n

A\u00a0matematikai sz\u00f6veges feladatok \u00e9s\u00a0a\u00a0sz\u00f6veg\u00e9rt\u00e9s \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9se, illetve azok alkalmaz\u00e1sa \u00f3vod\u00e1skorban<\/span><\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/strong><\/span><\/p>\n

\u201eA matematika az\u00a0a\u00a0t\u00e1rgy, amiben az\u00a0egyes r\u00e9szek egym\u00e1sra \u00e9p\u00fclnek, az\u00a0egyik l\u00e9p\u00e9st k\u00f6veti a\u00a0m\u00e1sik, \u00edgy nagyon fontos a\u00a0fogalmak helyes alapoz\u00e1sa, az\u00a0\u00f6sszef\u00fcgg\u00e9sek meg\u00e9rt\u00e9se. Vannak gyerekek, akik elvesztik a\u00a0fonalat, ez\u00a0a\u00a0rendszer nem \u00e1ll \u00f6ssze a\u00a0fej\u00fckben, \u00e9s\u00a0ugyan form\u00e1lisan megpr\u00f3b\u00e1lj\u00e1k megtanulni, de az\u00a0sajnos nem olyan, mint ha \u00e9rten\u00e9k. Ez\u00e9rt volna nagyon fontos a\u00a0gondolkod\u00e1sra nevel\u00e9s a\u00a0matematika\u00f3r\u00e1n.\u201d
\n<\/em>(Pint\u00e9r, 2022)<\/p>\n

Matematikai gondolkod\u00e1s, probl\u00e9mamegold\u00e1s, sz\u00f6veg\u00e9rt\u00e9s<\/strong><\/p>\n

Az\u00a0el\u0151z\u0151 k\u00e9t tanulm\u00e1nyban \u00f6sszefoglaltak ut\u00e1n a\u00a0matematikai gondolkod\u00e1s tan\u00edt\u00e1sa jelenti tal\u00e1n a\u00a0legnagyobb kih\u00edv\u00e1st, hiszen nem elegend\u0151ek hozz\u00e1 puszt\u00e1n az\u00a0\u00e9szlel\u00e9sek, a\u00a0fogalommal tel\u00edtett szavak ismerete, hanem a\u00a0h\u00e9tk\u00f6znapi tapasztalatokhoz kell illeszteni azokat a\u00a0korai, sz\u00f6vegekben megfogalmazott aritmetikai probl\u00e9m\u00e1kat, amellyel elkezdj\u00fck felismertetni nemcsak az\u00a0\u00f6sszef\u00fcgg\u00e9seket, hanem a\u00a0nyelv legkisebb elemeinek is az\u00a0\u00e9szlel\u00e9si \u00e9s\u00a0elemz\u00e9si fontoss\u00e1g\u00e1t: p\u00e9ld\u00e1ul vajon mennyire nevezhetj\u00fck szabad sz\u00f3rend\u0171nek a\u00a0magyar nyelvet, mik\u00f6zben a\u00a0k\u00f6vetkez\u0151 k\u00e9t mondatban a\u00a0szavak sorrendje a\u00a0legfontosabb t\u00e9nyez\u0151 a\u00a0megold\u00e1shoz: \u201emelyik sz\u00e1m a\u00a036\u00a0harmada\u201d, \u00e9s\u00a0\u201emelyik sz\u00e1m harmada a\u00a036\u201d (Pint\u00e9r, 2021, 102). Pint\u00e9r egy\u00a0m\u00e1sik szeml\u00e9letes p\u00e9ld\u00e1n kereszt\u00fcl\t1<\/a>\r\n<\/sup>\u2002mutatja be, hogy: \u201eM\u00e1r egy\u00a0sz\u00f3, egy\u00a0toldal\u00e9k is teljesen meg tudja v\u00e1ltoztatni a\u00a0sz\u00f6veg \u00e9rtelm\u00e9t: a 2-vel t\u00f6bb, a\u00a02-szerese \u00e9s\u00a0a\u00a02-szeres\u00e9vel t\u00f6bb<\/em> mind m\u00e1st jelent. Nem seg\u00edti a\u00a0tanul\u00f3k sz\u00e1m\u00e1ra a\u00a0szorz\u00e1s \u00e9s\u00a0az\u00a0\u00f6sszead\u00e1s sz\u00e9tv\u00e1laszt\u00e1s\u00e1t, hogy egyre gyakrabban fordul el\u0151 a\u00a0k\u00f6znyelvben a\u00a0\u201e2-szer t\u00f6bb\u201d kifejez\u00e9s, amelyben a\u00a0toldal\u00e9k szorz\u00e1sra, a\u00a0\u201et\u00f6bb\u201d sz\u00f3 pedig \u00f6sszead\u00e1sra utal, m\u00e9gis szorz\u00e1s \u00e9rtelemben szokt\u00e1k haszn\u00e1lni\u201d (Pint\u00e9r, 2021, 97).<\/p>\n

Ahogy a\u00a0m\u00e9r\u0151eszk\u00f6z\u00f6k feladataiban is l\u00e1ttuk, a\u00a0gyakorlati \u00e9lethez kapcsol\u00f3d\u00f3 aritmetikai\/ probl\u00e9mamegold\u00f3 k\u00e9rd\u00e9seket a\u00a0h\u00e9tk\u00f6znapi \u00e9lethelyzetekben \u00e9s\u00a0e\u00a0helyzetekhez kapcsol\u00f3d\u00f3 sz\u00f6vegeken kereszt\u00fcl tapasztaljuk meg, \u00edgy a\u00a0matematikai \u201esz\u00f6veges feladatok\u201d a\u00a0mindennapi \u00e9lettel egy\u00fctt j\u00e1r\u00f3 tev\u00e9kenys\u00e9gek k\u00f6z\u00e9 tartoznak\t2<\/a>\r\n<\/sup>\u2002(P\u00e9ld\u00e1ul: \u00f6t vend\u00e9get h\u00edvtunk meg, mi ketten vagyunk. H\u00e1ny poharat kell el\u0151k\u00e9sz\u00edten\u00fcnk \u00f6sszesen? Viszont ketten most sz\u00f3ltak, hogy nem tudnak elj\u00f6nni. Akkor most h\u00e1ny poh\u00e1r is kell?<\/p>\n

A\u00a0sz\u00f6veges feladatokat Pint\u00e9r (Pint\u00e9r, 2021, 95)\t3<\/a>\r\n<\/sup>\u2002a k\u00f6vetkez\u0151k\u00e9pp \u00f6sszegzi:<\/p>\n

\u201e\u2026olyan, h\u00e9tk\u00f6znapi k\u00f6rnyezetbe \u00e1gyazott matematikai probl\u00e9m\u00e1k, amelyek megold\u00e1sa egy\u00a0vagy t\u00f6bb matematikai m\u0171veletet ig\u00e9nyel. A\u00a0sz\u00f6veges feladatok megold\u00e1sa sor\u00e1n a\u00a0konkr\u00e9t sz\u00f6veg alapj\u00e1n absztrakt matematikai modellt \u00e1ll\u00edtunk fel, majd ebben megoldjuk a\u00a0feladatot, az\u00a0eredm\u00e9nyt pedig visszaford\u00edtjuk a\u00a0konkr\u00e9t szitu\u00e1ci\u00f3ba. A\u00a0sz\u00f6veg \u00e9s\u00a0a\u00a0matematikai modell k\u00f6z\u00f6tti \u00e1tmenet mindk\u00e9t ir\u00e1nyban neh\u00e9zs\u00e9get okoz, ez\u00e9rt fontos ezt a\u00a0folyamatot vizsg\u00e1lni, elemeit, l\u00e9p\u00e9seit, fokozatait r\u00e9szletesen tanulm\u00e1nyozni.<\/em>\u201d<\/p>\n

B\u00e1r a\u00a0defin\u00edci\u00f3 els\u0151 olvasatra tal\u00e1n t\u00fal \u00f6sszetettnek t\u0171nhet, azonban a\u00a0modell m\u00e1r a\u00a0kezdetekkor is \u00edgy m\u0171k\u00f6dik. Ez\u00e9rt k\u00fcl\u00f6n\u00f6sen fontos az, hogyan vezetj\u00fck be a\u00a0gyermekeket a\u00a0probl\u00e9mamegold\u00e1s vil\u00e1g\u00e1ba a\u00a0sz\u00f6veges matematikai feladatokon kereszt\u00fcl. J\u00f3l l\u00e1that\u00f3, hogy a\u00a0matematikai sz\u00f6veges feladatok megold\u00e1si k\u00e9pess\u00e9ge er\u0151s \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9sben van a\u00a0sz\u00f6veg\u00e9rt\u00e9si k\u00e9pess\u00e9ggel (amit Varga, 2016, tanulm\u00e1nya is meger\u0151s\u00edt), a\u00a0munkamem\u00f3ri\u00e1val, a\u00a0feladatokkal kapcsolatos addig szerzett tapasztalatokkal,\t4<\/a>\r\n<\/sup>\u2002az azokb\u00f3l levonhat\u00f3 anal\u00f3gi\u00e1s \u00e9s\u00a0kombinatorikus k\u00e9pess\u00e9gekkel, ugyanakkor azt is megfogalmazhatjuk, hogy a\u00a0folyamat rekurz\u00edv, azaz minden egyes \u00fajabb feladat \u00e9s\u00a0annak megold\u00e1sa is fejleszti a\u00a0fentebb felsoroltakat.<\/p>\n

\u00a0<\/span><\/div>\n

\n\u00a0<\/span>
\nForr\u00e1s: freepik.com<\/a><\/em><\/span>
\n\u00a0<\/span><\/div>\n

Pint\u00e9r a\u00a0feladatok megold\u00e1s\u00e1n\u00e1l kiemeli: fontos megtan\u00edtani a\u00a0gyermekeket a\u00a0feladatmegold\u00e1shoz sz\u00fcks\u00e9ges inform\u00e1ci\u00f3k meghat\u00e1roz\u00e1s\u00e1ra\/ kiv\u00e1logat\u00e1s\u00e1ra\t5<\/a>\r\n<\/sup>, a\u00a0kulcsszavak megkeres\u00e9s\u00e9re, azok adott kontextusban t\u00f6rt\u00e9n\u0151 pontos \u00e9rtelmez\u00e9s\u00e9re, a\u00a0fogalmak pontos meg\u00e9rt\u00e9s\u00e9re, a\u00a0feladatok megfelel\u0151 r\u00e9szekre bont\u00e1s\u00e1ra, a\u00a0k\u00f6vetkeztet\u00e9sek megfogalmaz\u00e1s\u00e1ra, majd a\u00a0hozz\u00e1juk kapcsol\u00f3d\u00f3 m\u0171veletek meghat\u00e1roz\u00e1s\u00e1ra. Tov\u00e1bb\u00e1 alapvet\u00e9sk\u00e9nt fogalmazza meg, hogy seg\u00edts\u00fck a\u00a0gyermekek feladat\u00e9rtelmez\u00e9s\u00e9t a\u00a0szitu\u00e1ci\u00f3k elj\u00e1tsz\u00e1s\u00e1val, rajzokkal, t\u00e1bl\u00e1zatokkal, halmazokkal, k\u00fcl\u00f6nf\u00e9le eszk\u00f6z\u00f6kkel, amelyekkel a\u00a0feladatmegold\u00e1shoz sz\u00fcks\u00e9ges manipul\u00e1ci\u00f3kat el tudj\u00e1k v\u00e9gezni. A\u00a0vizualiz\u00e1ci\u00f3 alapozza meg az\u00a0absztrakci\u00f3t\t6<\/a>\r\n<\/sup>, teh\u00e1t mindig konkr\u00e9t, l\u00e1t(tat)hat\u00f3 feladatokb\u00f3l induljunk ki: az\u00a0absztrakt gondolkod\u00e1s fokozatosan, a\u00a0sokf\u00e9le konkr\u00e9t feladaton kereszt\u00fcl fog megsz\u00fcletni. A\u00a0helyzetb\u0151l, a\u00a0sz\u00f6vegb\u0151l ad\u00f3d\u00f3 modell megalkot\u00e1s\u00e1hoz \u00e9rdemes t\u00f6bbsz\u00f6r elism\u00e9telni (iskol\u00e1ban elolvasni) a\u00a0feladatokat, azokat nyelvileg esetleg \u00e1t is fogalmazni, a\u00a0sz\u00f3kincsre, a\u00a0szerkezetek haszn\u00e1lat\u00e1ra is figyelve, majd azokat r\u00e9szleteiben \u00e9rtelmezni. Nem hagyhat\u00f3 ki a\u00a0megold\u00e1s ellen\u0151rz\u00e9se sem. C\u00e9lszer\u0171 a\u00a0gyermekeket kooperat\u00edvan dolgoztatni, mert a\u00a0feladatr\u00f3l val\u00f3 besz\u00e9d, a\u00a0kommunik\u00e1ci\u00f3 a\u00a0k\u00f6z\u00f6s, hangosan val\u00f3 gondolkod\u00e1s \u00e1ltal el\u0151seg\u00edti a\u00a0feladat\u00e9rt\u00e9st (Pint\u00e9r, 2021).<\/p>\n

Nyelv\u00e9szeti megk\u00f6zel\u00edt\u00e9sb\u0151l a\u00a0matematikai sz\u00f6veges feladatok megold\u00e1s\u00e1ban az\u00a0is komoly gondot okozhat, ha nem a\u00a0gyermekek szintj\u00e9nek megfelel\u0151 nyelvi szerkezeteket haszn\u00e1lnak a\u00a0feladatok megsz\u00f6vegez\u00e9s\u00e9n\u00e9l. A\u00a0sz\u00f3kincsen t\u00fal az\u00a0\u00f6sszetett mondatok, k\u00fcl\u00f6n\u00f6sen az\u00a0al\u00e1rendel\u0151 \u00f6sszetett mondatok, a\u00a0t\u00f6bbszint\u0171 szintaktikai szerkezetek alkalmaz\u00e1sa nehez\u00edti a\u00a0meg\u00e9rt\u00e9st. Azaz a\u00a0feladatmegold\u00e1si strat\u00e9gia l\u00e9nyeges eleme, hogy megtan\u00edtsuk a\u00a0mondat olyan inform\u00e1ci\u00f3s csomagokk\u00e1 val\u00f3 felbont\u00e1s\u00e1t, amely megfelel a\u00a0szerkezet\u00e9nek.<\/p>\n

N\u00e9zz\u00fcnk egy\u00a0feladatot! Van egy\u00a0k\u00e9p, amin sorban, egym\u00e1s mellett, v\u00e1ltogatva vannak jobbra, balra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1k \u00e9s\u00a0ugyanebben az\u00a0elrendez\u00e9sben csirk\u00e9k. A\u00a0feladat \u00edgy hangzik p\u00e9ld\u00e1ul:<\/p>\n

A\u00a0jobbra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1kat sz\u00ednezd s\u00e1rga cs\u00edkosra!<\/em>\u00a0<\/em><\/p>\n

A\u00a0gyermek, miut\u00e1n meghallgatta a\u00a0feladatot, jut el oda, hogy:<\/p>\n

    \n
  1. El\u0151 kell vennie a\u00a0s\u00e1rga sz\u00ednest.<\/li>\n
  2. Ki kell v\u00e1logatni a\u00a0kacs\u00e1kat.<\/li>\n
  3. A\u00a0kacs\u00e1k k\u00f6z\u00fcl ki kell v\u00e1logatnia a\u00a0jobbra n\u00e9z\u0151ket.<\/li>\n
  4. Most ki kell sz\u00edneznie a\u00a0m\u00e1r kiv\u00e1logatott, jobbra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1kat cs\u00edkosra.<\/li>\n<\/ol>\n

    A\u00a0megold\u00e1shoz tartoz\u00f3 els\u0151 mozdulat a\u00a0h\u00e9t sz\u00f3b\u00f3l \u00e1ll\u00f3 mondat utols\u00f3 el\u0151tti szav\u00e1hoz kapcsol\u00f3dik: elkezdi keresni a\u00a0sz\u00ednesek k\u00f6zt a\u00a0s\u00e1rg\u00e1t\u2026 Rem\u00e9lj\u00fck, a\u00a0t\u00f6bbi inform\u00e1ci\u00f3t is megjegyezte, ha csak hall\u00e1s ut\u00e1n v\u00e9gzi el a\u00a0feladatot, vagy \u00fajra elism\u00e9tlik neki, r\u00e9szekre bontva.<\/p>\n

    A\u00a0m\u00e1sik neh\u00e9zs\u00e9ge a\u00a0matematikai sz\u00f6vegeknek a\u00a0magyarra jellemz\u0151 balra b\u0151v\u00edt\u0151 szerkezet: vagyis a jobbra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1k<\/em> szerkezet ugyan m\u00e9g az\u00a0egyszer\u0171bb balra b\u0151v\u00edt\u0151 szintaktikai strukt\u00far\u00e1k k\u00f6z\u00e9 tartozik, de a\u00a0k\u00f6vetkez\u0151 \u00e1ll\u00edt\u00e1sok meg\u00e9rt\u00e9s\u00e9t zs\u00fafolt\u00e1k bele ebbe a\u00a0szerkezetbe: Vannak kacs\u00e1k. A\u00a0kacs\u00e1k n\u00e9zegethetnek t\u00f6bbfel\u00e9 a\u00a0rajzon. A\u00a0jobbra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1kat kell megkeresni. \u0150k lesznek a jobbra n\u00e9z\u0151 kacs\u00e1k<\/em>.<\/p>\n

    A\u00a0k\u00f6vetkez\u0151 feladatot egy\u00a0els\u0151s\u00f6knek sz\u00e1nt online anyagb\u00f3l emeltem \u00e1t (a forr\u00e1st most sz\u00e1nd\u00e9kosan nem jel\u00f6l\u00f6m meg, mert a\u00a0gondolat a\u00a0c\u00e9l):<\/p>\n

    \u201eAz iskolai fog\u00e1szaton 20\u00a0tanul\u00f3 jelent meg. 5\u00a0tanul\u00f3nak t\u00f6mt\u00e9k be lyukas fog\u00e1t, kett\u0151vel kevesebb tanul\u00f3nak fogat h\u00faztak. A\u00a0t\u00f6bbi tanul\u00f3nak minden foga eg\u00e9szs\u00e9ges volt. Melyik sz\u00e1mfeladat tartozik a\u00a0sz\u00f6veghez?\u201d<\/p>\n

    Az\u00a0eml\u00edtett oldalon tal\u00e1lt feladatok k\u00f6z\u00fcl sok olyan el\u0151feltev\u00e9st tartalmaz, amit a\u00a0gyermek nem biztos, hogy mag\u00e1t\u00f3l \u00e9rtet\u0151d\u0151nek tart. Ebben a\u00a0feladatban is t\u00f6bbl\u00e9pcs\u0151s elemz\u00e9st v\u00e9gezhetn\u00e9nk, de a\u00a0legink\u00e1bb probl\u00e9m\u00e1s, hogy nem tudjuk, csak gondolhatjuk, hogy akiknek kih\u00fazt\u00e1k a\u00a0fog\u00e1t, azok nem ugyanazok voltak, mint akiknek t\u00f6mtek is. Ezt nem egy\u00e9rtelm\u0171s\u00edti a\u00a0feladat.<\/p>\n

    B\u00e1r \u00fagy t\u0171nhet, a\u00a0fenti feladatok \u00e9s\u00a0a\u00a0sz\u00f6veges feladatok tan\u00edt\u00e1s\u00e1nak elm\u00e9lete ink\u00e1bb az\u00a0iskol\u00e1sokhoz sz\u00f3l, de m\u00f3dszertan\u00e1t tekintve az\u00a0alapok az\u00a0\u00f3vod\u00e1sokra is \u00e9rv\u00e9nyesek, term\u00e9szetesen j\u00e1t\u00e9kos form\u00e1ba \u00e9p\u00edtve, j\u00e1t\u00e9kok bevon\u00e1s\u00e1val, \u00e9lm\u00e9nyszer\u0171en, a\u00a0mindennapokhoz illeszked\u0151 tapasztalatokat felhaszn\u00e1lva, illetve konkr\u00e9t t\u00e1rgyakkal, manipul\u00e1ci\u00f3ra lehet\u0151s\u00e9get ad\u00f3 tev\u00e9kenykedtet\u00e9ssel fejlesztj\u00fck a\u00a0matematikai, illetve a\u00a0probl\u00e9mamegold\u00f3, k\u00f6vetkeztet\u0151, \u00f6sszef\u00fcgg\u00e9seket megl\u00e1ttat\u00f3 k\u00e9pess\u00e9geket. Az\u00a0ismeretszerz\u00e9s Brunner-f\u00e9le szintjei szerint teh\u00e1t el\u0151bb a\u00a0t\u00e1rgyi tev\u00e9kenykedtet\u00e9ssel szerz\u00fcnk tapasztalatokat, majd r\u00e1t\u00e9rhet\u00fcnk a\u00a0k\u00e9pi szintre, \u00e9s\u00a0csak ezut\u00e1n j\u00f6het a\u00a0szimbolikus szint. Teh\u00e1t a\u00a0term\u00e9szetes sz\u00e1mokat el\u0151bb a\u00a0t\u00e1rgyak megsz\u00e1ml\u00e1l\u00e1s\u00e1val kezdj\u00fck, p\u00e9ld\u00e1ul megsz\u00e1molunk h\u00e1rom aut\u00f3t, majd j\u00f6het a\u00a0korongok haszn\u00e1lata, \u00e9s\u00a0csak ezek ut\u00e1n jelenhet meg a\u00a0h\u00e1rmas sz\u00e1m mint szimb\u00f3lum egyeztet\u00e9se a\u00a0mennyis\u00e9ggel (Pint\u00e9r, 2015)\t7<\/a>\r\n<\/sup>.<\/p>\n

    \u00a0<\/span><\/div>\n

    \n\u00a0<\/span>
    \nForr\u00e1s:     freepik.com<\/a><\/em><\/span>
    \n\u00a0<\/span><\/div>\n

    Pint\u00e9r Kl\u00e1ra matematikai k\u00e9pess\u00e9gfejleszt\u00e9sr\u0151l \u00edrt tananyaga alapj\u00e1n a\u00a0fogalomalkot\u00e1s kialak\u00edt\u00e1s\u00e1hoz l\u00e9nyeges gondolkod\u00e1si m\u0171veletek:<\/p>\n